闲话 22.10.1

闲话

这才是真正的闲话

最后讲了一下求导和积分
但是感觉没几个人听
听了也没几个人会
——by crs_line

如果有不会的东西都可以来找我！
给solution引流
但是高数很多东西真的比较基础了
要学的也不多
求导 积分 多元函数 高重积分 级数 然后没了

某人在祂今天未公开的闲话里说我不放图 我也是放的

是四个可爱！虽然略微Badend

桜が泣いている

わたしたちの春は

紛い物、紛い物だから

どうせ知ってたんだろう

わたしあなたから逃げないよ

I'll just be forever a phantom.

杂题

CF1667E

对于所有点数为 $n$ 的树，如果其满足对于所有 $i\in [2,n]$，与 $i$ 相连的 $j$ 中有且只有一个点 $j$ 满足 $j<i$ ，那么我们称其为好树。对于 $1\sim n$ 每个点求出来有多少好树满足重心为 $i$。这里重心定义为删去这个点后形成的所有连通块大小均小于 $\frac{n-1}2$。

$3\le n\le 2\times 10^5$ 且 $n$ 为奇数（所以不存在树有多个重心的情况）

“有且只有一个点 $j$ 满足 $j<i$”这个东西可以通过强制以 $1$ 为根来生成树来避免判定。
于是我们对 $i$ 需要求的就是 以 $1$ 为根， $i$ 的子树大小 $\ge \frac {n+1}2$，其余点的子树大小 $< \frac {n+1}2$ 的树的数量。

先考虑第一个条件。
我们设 $f_i$ 为 $i$ 节点的子树大小 $\ge\frac {n+1}2$ 的树的数量。
我们考虑子树中有 $j$ 个点，然后选出除自己外的 $j-1$ 个点一共 $\binom{n-1}{j-1}$ 种可能；不在子树内的节点每个节点需要一个编号比他小的父亲，可能性是 $(n-j-1)!$ 的；第 $i$ 个点需要一个父亲，可能性是 $(i-1)$ 的；在子树中的 $j-1$ 个点，每个点需要一个父亲，可能性是 $(j-1)!$ 的。
令 $m = \frac{n+1}2$，于是

$$\begin{aligned} f_i &= \sum_{j=m}^{n-i+1} \binom{n-i}{j-1}(n-j-1)!(i-1)(j-1)! \\ & = \sum_{j=m}^{n-i+1} \frac { (n-j-1)!(i-1)(j-1)!(n-i)! } { (j-1)!(n-i-j+1)! } \\ & = (n-i)! (i-1)\sum_{j=m}^{n-i+1} \frac { (n-j-1)!} { (n-i-j+1)! } \qquad (到这里都是简单消一下) \\ & = (n-i)! (i-1)!\sum_{j=m}^{n-i+1} \binom { n-j-1} { n-i-j+1} \qquad (上下同乘 (i-2)!\ 攒成组合数) \\ & = (n-i)! (i-1)!\sum_{j=m}^{n-i+1} \binom { n-j-1} { i-2 } \\ & = (n-i)! (i-1)!\binom { n-m} {i-1} \\ & = \frac {(n-i)! (n-m)!}{ (n-i-m+1)!} \end{aligned}$$

然后我们 $O(1)$ 求出了 $f_i$。

然后求答案。设 $g_i$ 为 $i$ 点的答案，我们有

$$g_i = f_i - \frac{\sum_{j=i+1}^n g_j}{i}$$

$g_i$ 是 $f_i$ 减去 $i$ 子树内存在重心 $j$ 情况的答案。$j$ 是重心且在 $i$ 子树内的可能性为 $\frac 1i$ ，因此有转移式。

于是 $O(n)$ 求解答案。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for (register int (i) = (a); (i) <= (b); ++(i))
#define pre(i,a,b) for (register int (i) = (a); (i) >= (b); --(i))
const int N = 2e5 + 10, mod = 998244353;
int jc[N<<1], inv[N<<1], n, m, f[N], ans[N], sum;
int qp(int a, int b) { int ret = 1; while (b) { if (b & 1) ret = 1ll * ret * a % mod; a = 1ll * a * a % mod; b >>= 1; } return ret; }
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n; m = (n + 1) / 2;

    jc[0] = inv[0] = 1;
    rep(i,1,n) jc[i] = 1ll * jc[i-1] * i % mod;
    inv[n] = qp(jc[n], mod - 2);
    pre(i,n-1,1) inv[i] = 1ll * inv[i+1] * (i+1) % mod;

    pre(i,n-m+1,1) ans[i] = (1ll * jc[n-i] * jc[n-m] % mod * inv[n-i-m+1] % mod - 1ll * sum * qp(i, mod - 2) % mod + mod) % mod, sum = (sum + ans[i]) % mod;
    rep(i,1,n) cout << ans[i] << ' ';
}